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标题: 迭代研究 [打印本页]

作者: mjj_ljh 时间: 2010-10-18 19:33 标题: 迭代研究

著名数学家、分形之父Mandelbrot（中文名本华·曼德博）美国时间10月15日因胰腺癌在马萨诸塞州剑桥市的一所临终关怀医院中辞世，享年85岁。

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作者: mjj_ljh 时间: 2010-10-25 20:04

IFS原理篇1－仿射压缩集
未命名.JPG

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作者: 榕坚 时间: 2010-10-25 20:27

正苦于不能入门呢。学习了

作者: xiaongxp 时间: 2010-10-25 20:33

梅兄一出手就会亮出高招，下载学习了。你那些随附的工具很吸引人，不知如何用呢？

作者: mjj_ljh 时间: 2010-11-14 16:04

再做反函数法

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作者: xiaongxp 时间: 2010-11-14 16:18

反函数法？怎么扫描的？

作者: 周传高 时间: 2010-11-14 16:20

这个有点引人。

作者: mjj_ljh 时间: 2010-11-14 18:24

6# xiaongxp
对圆进行逆迭代，算法不太好，不然的话我已将源文件上传了。

作者: mjj_ljh 时间: 2010-11-15 19:48

迭代
迭代用我的话说就是“重复的算法”，当然这里的算法有简单和复杂之分，比喻说坛上许多老师正在研究的UF分形算法就比较复杂。我们知道一般的算法可分为顺序、选择、循环结构，再加上函数和过程，但不管怎样函数或者说变换的迭代行为，我们必需认真的加以研究。

作者: mjj_ljh 时间: 2010-11-15 20:15

一次函数的迭代行为
当f(x)=kx或f(x)=x+b时，这时迭代的轨道是一个等比或等差数列。
当f(x)=kx+b时，这时的迭代轨道行为主要取决于k.
abs(k)>1时，轨道发散到无穷，也可以说在黎曼球面上收敛于无穷点。
0<abs(k)<1时，轨道收敛于y=x和y=kx+b的交点（b/(1-k),b/(1-k)).
综合以上，我们可以说一般线性函数迭代轨道的长期行为在扩充复平面上是简单的：收敛于一点。

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作者: xuefeiyang 时间: 2010-11-15 20:25

支持梅兄在这方面往纵深探究！一定会取得非常不一般的成就！这个方向更贴近我们中学数学教师的数学知识水平！

作者: xiaongxp 时间: 2010-11-15 21:06

站得高，看得远，我也顶一个。

作者: mjj_ljh 时间: 2010-11-16 17:47

不能总站在山脚下，想往山腰爬一段，沿途的风景已令我流连忘返了.

作者: mjj_ljh 时间: 2010-11-17 16:33

迭代序列
设f为一函数，则由f可生成如下迭代序列：
未命名.JPG

轨道
我将迭代序列｛f^n(x)}作用于点P形成的点列叫点P的轨道。如：
由f(x)=x+d生成的迭代序列{f^n(x)}作用于点a形成的点列：a,a+d,a+2d,……，a+(n-1)d,……
就是a的轨道，也就是我们说的等差数列。
由f(x)=qx生成的迭代序列{f^n(x)}作用于点b形成的点列：b,bq,bq^2,……，bq^(n-1),……
就是b的轨道，也就是我们说的等比数列。
由f(x)=x-p(x)/p'(x)(这里p(x)=x^2-2)生成的迭代序列就是牛顿求根序列，它的极限是正负根号２。

牛顿求根序列.gsp (3.47 KB)
看看复平面上点的轨道有多精采。
未命名.JPG

这是晓兵老师的早期作品，请大家欣赏。有时候我们也可以迭代圆和图片也很好玩。

复函数迭代轨道１.gsp (34.59 KB)

复函数迭代轨道２.gsp (59.55 KB)

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作者: mjj_ljh 时间: 2010-11-18 19:20

未命名.JPG

感谢ＺＸＮＡ老师指点。

实二次函数的共轭变换.gsp (16.09 KB)

复二次函数的共轭变换.gsp (24.57 KB)
共轭变换概念很有用，我们在研究分式线性变换(mobius变换)时经常用到它.

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作者: changxde 时间: 2010-11-18 20:36

搞点理论很有必要，认真学习。

作者: mjj_ljh 时间: 2010-11-18 20:58

16# changxde
我也是边学边写，全当作笔记，不懂的地方还得向您请教。错误的地方也请您和大家指正，谢谢。

作者: mjj_ljh 时间: 2010-11-20 15:46

当c<-3/4时须讨论周期为２的周期点。

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作者: mjj_ljh 时间: 2010-11-27 16:03

轨道复杂性一

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作者: mjj_ljh 时间: 2010-11-27 16:07

f3的图形有４个尖峰，见下图：

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作者: mjj_ljh 时间: 2010-11-27 16:08

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作者: xiaongxp 时间: 2010-11-27 16:42

佩服！梅兄能坐得下来搞理论，没有扎实的数学功底，是不可能做到的。拜读了。

作者: mjj_ljh 时间: 2010-11-27 16:47

22# xiaongxp

不能总是懵懵懂懂的用画板做分形，还是得学点理论，搞懂一点是一点。

作者: xiaongxp 时间: 2010-11-27 17:05

23# mjj_ljh
我是望洋兴叹的了，大学的那点东西快丢30年了。

作者: 柳烟 时间: 2010-11-27 18:01

23# mjj_ljh
是这样的，没有理论的实践，是盲目的实践。但是，数学，丢得差不多了。佩服梅老师的钻业精神。

作者: changxde 时间: 2010-11-29 16:00

向梅老师学习

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作者: mjj_ljh 时间: 2010-11-29 18:37

26# changxde

相互交流，共同提高。我们不能做“三不教师”，要不然可真叫某些“专家”言中了。

作者: mjj_ljh 时间: 2010-11-29 19:16

轨道复杂性例二——逻辑斯谛映射（logistic)
关于这个映射抽空再好好研究，现将文件上传，文字内容一时还没时间写。
未命名(1).GIF

逻辑斯谛映射.gsp (18.97 KB)

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作者: xiaongxp 时间: 2010-11-29 21:49

这个分岔图我就是没作成过，学习了。

作者: mjj_ljh 时间: 2010-12-3 20:58

未命名.GIF

实二次函数的共轭变换1.gsp (7.18 KB)
未命名(1).GIF

轨道图象追踪法.gsp (11.06 KB)

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作者: mjj_ljh 时间: 2010-12-17 18:14

未命名.GIF

以上结论都可以用轨道图象追踪法给出形象的说明。

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作者: mjj_ljh 时间: 2010-12-17 19:27

我的一点随想。
中考、高考又不考分形，为什么要学习分形呢？
在学习的过程中，我们可以站的高一点看中学数学，我们会发现中学数学的内容会显的更加鲜活和生动。也就是说，我们会发现中学数学内容是“活动的”、“可视的”，你想想一个可视的鲜活的事物难道不是“美丽的”吗？
二次函数中学数学的经典内容是：定义、图象、性质、应用，进一步二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的联系，最后我们可以将它放到圆锥曲线的大背景中。但如果我们用迭代的观点研空它又将是一片新天地，实二次函数和复二次函数的迭代多么精采，如果我们用变换的观点来研空它（函数本来就是一种变换），我们发现不同的二次函数之间可通过一次函数这个桥梁沟通起来，原来一次函数和二次函数关系如此亲密。用迭代观点研究迭代我们发现中学等比数列、等差数列原来是一次函数的迭代序列轨道，一次函数可以理解为相似变换。不动点、周期点涉及方程的解法，进一步可以由三次到n次方程的解法到群到代数基本定理。对称到对称群，球到黎曼球，复数向量矩阵之间关系，从欧氏几何到非欧几何等等等等。多么丰富多么精采，我们的中学数学难道不是“活动的、可视的、美丽的”吗？

作者: inRm 时间: 2010-12-17 23:00

真是一种享受。

作者: czmmr1 时间: 2010-12-23 00:49

学无止境，能者为师。

作者: mjj_ljh 时间: 2010-12-23 15:09

28楼文件已更新.这个很重要还是说明一下好.

作者: mjj_ljh 时间: 2010-12-25 15:53

要想把二次函数彻底讨论清楚，必需由一维进入二维，下面我们进入复平面。
轨道复杂性

稠密性验证.gsp (3.74 KB)

单位圆上的旋转变换.gsp (9.05 KB)

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作者: mjj_ljh 时间: 2010-12-25 15:54

到此我们可以提出一些概念了，动力系统概念：
未命名2.GIF

力系统，只是它的时间集合不是一个连续的，而是离
散的，我们称它为离散动力系统。当f可逆我们还可由
当前状态追溯历史。

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作者: mjj_ljh 时间: 2011-1-3 19:13

下面研究我最感兴趣的复二次函数。
未命名.JPG

下面这幅图是我在网上搜到的最为精确的Ｍ集，后面我们会看到Ｍ集结构的详细分析。
未命名2.JPG

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作者: mjj_ljh 时间: 2011-1-8 20:03

到此我终于对Ｍ集的结构有了一个大致了解，Ｍ集与Ｊ集的关系也有较为深入的理解了，也消除了以往认识的许多误区。对于什么样的图形是较为精确的Ｍ集和Ｊ集我也有了全新的认识。
未命名.JPG

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作者: xiaongxp 时间: 2011-1-8 21:26

拜读了梅兄的高论大作，我虽理解肤浅，但却获益颇深。谢谢！

作者: mjj_ljh 时间: 2011-1-9 13:34

40# xiaongxp

互相学习，相互交流，共同进步。论坛的精神就应该是：平等、共享、交流、提高。

作者: mjj_ljh 时间: 2011-1-10 20:08

http://en.wikipedia.org/wiki/External_ray
这部分内容难呀！中文资料太少，大家看有什么办法。

作者: mjj_ljh 时间: 2011-1-17 20:30

中途小憩：
函数的迭代是动力系统中的一小块内容，我们可以先从一维动力系统开始研究，先研究一次函数、二次函数，再从多项式函数到分式函数，再此基础上明白混沌和动力系统的含义；然后我们接着研究复二次函数（多项式函数的代表），再研究分式函数，以分式线性函数(Mobius变换的内容也很丰富）和牛顿迭代为例，再此基础上明白分形的含义，以上研究方法都是从特殊到一般，以经典的例子来理解相关的概念。这当中共轭变换是关键工具，它可以将相关内容联系起来，二次函数通过一次函数做共轭变换可化简，我们也可以将分式函数通过一次函数做共轭变换变为简单二次函数，也就是说共轭变换可以化繁为简，减少运算，这也体现了一次函数作用，简单的东西也很有用呀。
这当中Ｍ－Ｊ集是最吸引人的一部分内容，也是永远也说不完的内容。这里对它的外射角概念认识还不清楚、Misiurewicz点还有等进一步研究。其实对Ｍ－Ｊ集的研究最大困难就是不懂Ｅ文，我们所学习和研究的东西，国外在８０年代已经完成，主要的就是Douady和Hubbard的著作，找不到相关中文资料；另一方面和我的数学知识的匮乏这两个因素有关。
研究了一个函数的迭代，我们可以研究迭代函数系，可以从平面到三维等等，在研究的过程中，需要什么数学知识可以边学边用，可以说这个过程没有尽头。既痛苦又快乐呀！
着色实验：
未命名1.JPG

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作者: mjj_ljh 时间: 2011-1-28 16:04

未命名.GIF

的点,这时可以根据k的值运用相应的着色算法给c着色，则会得到M集，给起始点z着色，则会得到J集。

M集扫描平台.gsp (75.18 KB)
以上平台是在xue-xiang平台基础上二次开发而成，感谢xuefeiyang和老巷，着色算法由常老师开发，感谢changxde。
以上图片都是在这个平台上扫描而来。

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作者: xiaongxp 时间: 2011-1-28 16:19

44# mjj_ljh
这组图片的亮度用得非常到位，请教着色模式是HSV吗？

作者: mjj_ljh 时间: 2011-1-28 16:42

就是以上文件得到，RGB。

作者: xiaongxp 时间: 2011-1-28 17:11

46# mjj_ljh
哦，谢谢梅兄。

作者: mjj_ljh 时间: 2011-1-29 21:24

着色实验1：
未命名.JPG

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作者: mjj_ljh 时间: 2011-1-30 20:00

着色实验2：
未命名.JPG

M集扫描平台11.gsp (75.58 KB)

M集扫描平台11(反色).gsp (75.77 KB)

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作者: mjj_ljh 时间: 2011-1-30 20:14

反色技术：
我在用xp自带画图软件截取画板扫描图片时，发现画图软件菜单选项中有一项反色，我想画板是否可以实现呢？一试还真行，而且实现起来极简单，现说明如下：
只要将文件中的着色参数RGB编缉为1－R、1－G、1－B即可。
我上面的文件就是这一技术的例子。好处我想不说你也知道。

作者: 榕坚 时间: 2011-1-30 20:37

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作者: 榕坚 时间: 2011-1-30 20:51

再放大一些：

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http://develop.forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=9932&k=9294edebcfa9d56767b57d90a8360483&t=1749731917&sid=zg31XW

作者: 榕坚 时间: 2011-1-30 21:06

想再看到小M集恐怕是很难了（已经放大到2.5*10^18)：

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作者: mjj_ljh 时间: 2011-1-30 21:15

牛！我用画板怎么也放大不到这个数量级。

作者: 榕坚 时间: 2011-1-30 21:22

54# mjj_ljh
哈哈，吓唬人的，是UF的杰作。画板最多我放大到1.5*10^14。不过UF也要等较长的时间，我正在等着小M的出现呢.

作者: 榕坚 时间: 2011-1-30 21:42

总算露脸了，放大到2.8*10^20，下面的一张是画板的。

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http://develop.forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=9935&k=c31d4e80b9c9877cd55f3168a417e3f5&t=1749731917&sid=zg31XW

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http://develop.forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=9936&k=be2fbf8d01d49a22e8d767205cef018f&t=1749731917&sid=zg31XW

作者: mjj_ljh 时间: 2011-2-14 20:29

你想看的更深吗？deep and deep ……
http://www.tudou.com/programs/view/7wympy6pi-g/

作者: 榕坚 时间: 2011-2-15 08:35

57# mjj_ljh

确实很震憾。

作者: mjj_ljh 时间: 2011-9-16 23:04

继续……

前几天发了一幅图（见链接），榕坚老师问了我两次关于这幅图的参数，我都没有回答，为什么呢？我主要是想用这幅图表达我个人的一个观点：发图一定要给出说明，不要什么都不说，孤零零的只有图。
分形板块这种现象越演越重，这种风气应该就此打住。因为发这种帖子意义不大，而带来的负面影响确大的多，也许发贴者认为这是启发他人的心智，帮助他人进步，但是你这样什么都不说，谈何启发，还不如说就是一种炫耀，一但他人发问，要么闪烁其辞或顾左右而言他，要么摆出一幅为人师的形象，俗不知我们的老祖宗早说过：“人之忌，在好为人师。”（《孟子·离娄上》）
我认为论坛的精神应该是自由、平等、共享、进步。你有发帖与不发帖的自由，但是若要发帖，就应该开诚布公，以诚相待，这样才能体现平等，关于共享也不是说每幅图必需要有源文件，可以是你的想法，你的资料，你的经验等等。自由平等是共享交流的前提，只有交流合作，才能共同提高进步。
现在回到那幅图。我一看到这幅图一下子就被它的结构震撼了，再一次提起了我学习DEM算法兴趣，现在经过初步调试我的算法，这种结构能做到，只是时间难耐。榕坚老师到此想必你已知道所要的答案了吧，也在此说声抱歉

。
http://www.fractalforums.com/man ... -bandw-images-from-（第3页，倒数第二帖的第二页，原图的结构更令人震撼，内容更丰富）

j集dem算法（mjj）.gsp (81.26 KB) 我已将参数调到使图片非常清晰了（比我上传的要清晰），你能调到更清晰吗？期待……
未命名.JPG

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http://develop.forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=14252&k=f312601fac3214e78b7a8ae053372d06&t=1749731917&sid=zg31XW

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http://develop.forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=14899&k=144d51b449992a340c981776cb8d62d1&t=1749731917&sid=zg31XW

作者: myzam 时间: 2011-9-17 06:42

59# mjj_ljh
分形板块印象记。

我对分形，在很早时玩过m集。过后在也没摸过了，之所以不玩是因为我不清楚分形该研究什么。不过常来分形板块看。看过去看过来，就是一些图片。好像是美术老师做的画。给人以美的享受，令人赞叹，啧啧称奇。
对分形板块，给人的表象就是不知道研究目标是什么，也不知道要达到什么目标，好像就是弄点奇特的图形来展示这就是分形板块的目标，至于图形是怎么画的，天知道，还常看到有人问：这是不是几何画板画的。从板块的第一页到最后一页有兴趣的话去统计一下：分数维数这4个字出现的次数不会很多吧。.
所以我这个门外汉，也觉得好奇，也想知道一点图是什么工具画的，大至是怎么画的。我想这也是很多人的梦想吧。数学老师都有一颗好奇的心，不让其知其所以然，那个老师都不愿意的，祝分形板块越办越火。

作者: mjj_ljh 时间: 2011-9-17 12:07

60# myzam

学习画板我们采取的态度还是老祖宗那句名言：
子曰:“不愤不启，不悱不发。举一隅不以三隅反，则不复也。”（论语·述而第七）
这也是为什么我主张不必每幅图必配源文件的原因。

作者: 榕坚 时间: 2011-9-17 16:59

59# mjj_ljh

谢谢梅老师的不回答，我要是知道那是网络上的图片可能就没有继续完善M集边界的动力了。因为有些东西是不可强求的，我只想在能力范围内做的更好。我这人有个特点：没有耐心看源文件，只想知道原理然后开动自己的思维去做。我想论坛这个东西是学习新知识的好地方，个人宗旨：有问必答，开诚布公，互相学习，共同进步。我相信任何论坛往往都是抛砖引玉的好地方，画板论坛更是。

作者: xiaongxp 时间: 2011-9-17 20:05

60# myzam
感受数学的美丽、探索美的数学根源，我想这是我们的目标吧.

作者: mjj_ljh 时间: 2011-9-17 21:10

M-J集结构的探索：（更新一字大改小）
今晚用我的DEM算法探索M集的结构，又有了新的收获：结构浓淡和粗细终于可控了。
当迭代次数n和放大倍数固定时，参数overflow和delta决定结构。当delta固定时，overflow越小结构越粗黑，反之越细淡，但一般不要小于一百万；delta和画板环境参数每厘米像素多少有关，如我设为每厘米50像素时，delta设为0.0041，然后按上述规律调整overflow即可，delta在这一过程中就不要改动了，也就是说环境参数决定delta,又如每厘米100像素时，delta设为0.0011。
按此规律可以调整出相当满意的结构。你可以试试。

M集dem算法（mjj）.gsp (79.94 KB)
接下来准备将m集的内部进行填充，再接下来准备将结构线条变成彩色。再再接下来准备让边界和内部着成不同的颜色。
QQ截图20110919172946.jpg

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作者: mjj_ljh 时间: 2011-9-30 16:29

网上淘的，很有启发。

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作者: mjj_ljh 时间: 2011-10-1 16:39

借用uuu老师的文件试试hsv着色。

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作者: mjj_ljh 时间: 2011-10-1 16:42

http://www.juliasets.dk/Fractals.htm
推荐一个非常有价值的网站。

图片附件: 01.jpg (2011-10-1 16:44, 37.2 KB) / 下载次数 2148
http://develop.forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=14536&k=f521d8d37c11e87cbb3ab311425b720b&t=1749731917&sid=zg31XW

作者: mjj_ljh 时间: 2011-10-1 19:39

67# mjj_ljh

老师们这些色带如何产生呢？作者好象是用不同的色带给M集着色，这些色带好象还能编辑，E文太差，唉！

作者: 榕坚 时间: 2011-10-1 20:54

66# mjj_ljh

请教一下这又是怎么试的呢？好象与巷老师的一幅着色有些相同。能大概说一下思路吗，好让我们学学？

作者: 榕坚 时间: 2011-10-2 11:59

69# 榕坚

差不多悟出道理来了：

图片附件: 边界（DEM)-10.JPG (2011-10-2 11:59, 100.19 KB) / 下载次数 2178
http://develop.forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=14550&k=30d4d5466a79707818ac591117cbcf5d&t=1749731917&sid=zg31XW

作者: mjj_ljh 时间: 2011-10-2 17:01

69# 榕坚

我是这样想的，用et做为亮度值，因为et值越靠近边界越大，所以也越亮，据此思路可以试试其它函数，只要其值有较大差异即可。你是怎样想的呢？

作者: 榕坚 时间: 2011-10-2 17:53

71# mjj_ljh
跟你一样。

作者: mjj_ljh 时间: 2011-10-5 22:05

连续逃逸时间（cet）算法

cet算法2011-10-05(mjj).gsp (143.93 KB)
粗略扫一三维图
未命名.JPG

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http://develop.forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=14617&k=cf0877138592f2ce78fc05f078e1d6b5&t=1749731917&sid=zg31XW

图片附件: 未命名.JPG (2011-10-6 15:05, 92.4 KB) / 下载次数 1843
http://develop.forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=14621&k=d36b5ef9d1a58304cdd9770f45881646&t=1749731917&sid=zg31XW

作者: mjj_ljh 时间: 2011-10-6 18:56

cet

M集cet算法（mjj）.gsp (75.63 KB)

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作者: xyj200909 时间: 2011-10-6 19:51

73# mjj_ljh

飞流直下三千尺，溢自曼德贝罗湖

作者: mjj_ljh 时间: 2011-10-13 16:13

http://sprott.physics.wisc.edu/carlson/

图片附件: cmphx108.gif (2011-10-13 16:14, 109.53 KB) / 下载次数 1775
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作者: 榕坚 时间: 2011-10-14 15:20

76# mjj_ljh

这好象是phoenix类的复分形，它是如何把内、外部给颠倒着色的呢？

作者: mjj_ljh 时间: 2011-10-14 20:03

77# 榕坚

我上传的复动力系统拟3d分形一文中有这方面说明，用了调色板技术。我现在脑子好象不够用了，榕老师研究一下吧。

作者: 榕坚 时间: 2011-10-14 21:15

78# mjj_ljh
内、外部着色是没问题了，只是那类似于陷阱般的纹路没有思路。

作者: myzam 时间: 2012-10-31 09:41

15# mjj_ljh
复二次函数w=az^2+bz+c可以归结到研究w=z^2+c的原因还可以直接从配方法上去说明。

作者: shdxinxian 时间: 2013-9-16 19:42

以前只知道模仿，不知道原理，现在有原理了，真好！
谢谢！收藏！

作者: lnszdzg 时间: 2013-12-6 21:42

此处尽是大牛啊

作者: mjj_ljh 时间: 2014-1-7 15:41

时间一长什么都忘了，网上淘了一点图片，供大家欣赏，有浪费论坛空间之嫌，如有不妥方老师可删之。
mandelbrot 之旅：
http://www.fractalforums.com/images-showcase-(rate-my-fractal)/mandelbrot-safari/?PHPSESSID=34243a8c1f367a798054ef9ea82bcdc8
我费了一点时间将图片汇集了一下。

就到这儿吧，有兴趣的老师请看原贴。

图片附件: evdz1_001.jpg (2014-1-7 15:29, 88.69 KB) / 下载次数 2447
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图片附件: evdz1_002.jpg (2014-1-7 15:29, 45.64 KB) / 下载次数 2355
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作者: 榕坚 时间: 2014-1-7 18:44

83# mjj_ljh

可惜几何画板都只能跑到半中间，其实个人电脑很难跑太远的。

作者: 榕坚 时间: 2014-1-7 21:18

怎么让几何画板跑得更远一些呢？

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作者: xiaongxp 时间: 2014-1-7 21:55

85# 榕坚
一孔之见：不用边界扫描技术，增加迭代次数，同样可以得到较清晰的边界。这不仅可以提高扫描速度，而且可使外部向边界的过渡更自然，更富于光感。用边界扫描技术可使边界更清晰，但很难使边界有明暗层次感，最美的边界，应当是外部色调的加深或稀释。

作者: xiaongxp 时间: 2014-1-7 21:57

83# mjj_ljh
这组图片让人眼前一亮。

作者: mjj_ljh 时间: 2014-1-8 11:02

85# 榕坚

我们用几何画板做分形，重点应放在原理，这个方向不能偏离。能走到这一步就行了，再往下走，就要进入死胡同了，几何画板毕竟是一款教学软件。

作者: mjj_ljh 时间: 2014-1-8 11:04

87# xiaongxp

“独乐乐，与人乐乐，孰乐？曰：“不若与人。”

作者: 贺基旭 时间: 2019-2-15 00:00

我的一点随想。
中考、高考又不考分形，为什么要学习分形呢？
在学习的过程中，我们可以站的高一点看中学数学，我们会发现中学数学的内容会显的更加鲜活和生动。也就是说，我们会发现中学数学内容是“活动的”、“ ...
mjj_ljh 发表于 2010-12-17 19:27

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