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标题: 双曲几何学习工具征解 [打印本页]

作者: 柳烟 时间: 2014-2-27 14:20 标题: 双曲几何学习工具征解

已知一圆，如何作该圆的正交圆？
注：柳某从来没涉及过双曲几何的些许知识，只是听说过有这个东西。这两天有点闲遐，想看看这门学问。今天看庞卡莱模型，看到弧与圆垂直的事，要作出弧与单位圆垂直，涉及到圆圆正交。我搞不太清楚我整的工具，是否正确，大家指教指教。如有问题，帮助完善，不胜感激。

作者: 柳烟 时间: 2014-2-27 14:41

我试作了一个工具，不知得当否，大家帮忙看看。当一个圆的圆心在已知圆内部时，我试了试，好象作不出圆与已知圆正交。

已知圆心作已知圆的正交圆工具.gsp (3.38 KB)
不知可否作个比我的文件的体积还小的工具，如果大家有新鲜想法，千万告知，感激之至。

附件: 已知圆心作已知圆的正交圆工具.gsp (2014-2-27 14:41, 3.38 KB) / 下载次数 4785
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作者: 柳烟 时间: 2014-2-27 22:15

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作者: 柳烟 时间: 2014-2-27 22:33

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作者: 柳烟 时间: 2014-2-27 23:21

遇到问题了：如何作经过单位圆内两点的弧与单位圆正交？到目前为止，还没找到思路。

在网上找正交的书看，可能要用到反演变换。

到处学，找到了，用了向老师的反演工具与常老师的新发明工具。

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作者: xiaongxp 时间: 2014-3-1 23:53

5# 柳烟
z1与z2间的非欧线段工具怎么作才好？

作者: xiaongxp 时间: 2014-3-2 00:18

柳老师请测试，看看存在什么问题
图片.jpg

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作者: 柳烟 时间: 2014-3-2 09:26

见双曲几何一书。在下用GSP验证复比的几何意义:

交比的几何意义.gsp (23.86 KB)
定理：令z1，z2，z3，z4∈C的任意四个不同点，则这四点共圆(含扩展圆——直线)的充要条件是交比[z1，z2；z3，z4]为实数。
交比将直线与圆周统一起来了。
GSP文件的验证中，用了Changxde的三点圆（直线）工具，对此表示感谢。这GSP中造了个单比或复比工具，大家看是否有问题。

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作者: 柳烟 时间: 2014-3-2 12:37

7# xiaongxp
工具不错,收藏之,谢谢向老师.

作者: xiaongxp 时间: 2014-3-2 15:35

学作双曲极限圆

[3,q]对称双曲极限圆.gsp (7.66 KB)

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作者: xiaongxp 时间: 2014-3-2 16:10

增加一个关于弧的点-点反演工具，作双曲极限圆变得容易起来了

[4,5]对称双曲极限圆.gsp (8.49 KB)

[5,5]对称双曲极限圆.gsp (12.23 KB)

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作者: 柳烟 时间: 2014-3-2 16:49

倒数变换将通过原点的圆周变成直线.倒数变换将不过原点的圆周仍变成不过原点的圆周.

书上的两个练习题,证明容易.用画板很快就能验证出是什么样。略。

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作者: 柳烟 时间: 2014-3-2 16:52

11# xiaongxp
作得不错.最近在恶补双曲几何的知识,双曲几何我从未涉及,等补得差不多了,再来学习向老师文件,不懂的地方到时再请教向老师.

作者: xiaongxp 时间: 2014-3-2 17:25

13# 柳烟
双曲几何我一直想学而不敢学，还是受柳老师你这贴子的启发才作出此工具，进一步有了作双曲极限圆的欲望。一同学习探讨吧，谢过。

作者: ataorj 时间: 2014-3-2 17:56

谢谢柳烟!我对于复数增加了了解

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作者: xiaongxp 时间: 2014-3-2 19:30

任意[p,q]_对称双曲极限圆怎么作？其中(p-2)(q-2)>4。

作者: ataorj 时间: 2014-3-2 19:49

象我现在学历浅,主要对基础性的东西感兴趣,双曲几何,极限圆,还没听过

作者: xiaongxp 时间: 2014-3-4 20:39

[p,q]中的q可由双曲正p边形的顶点在极限圆中的相对半径来确定。

[5,q]对称双曲极限圆.gsp (13.9 KB)

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作者: xiaongxp 时间: 2014-3-6 21:18

已知圆心和半径点，如何作双曲平面上的非欧圆？

作者: xiaongxp 时间: 2014-3-7 14:03

作成了非欧圆、非欧距离工具、双曲网格的内结点工具（7楼已更新）。
往下再思考非欧角度工具的制作……

作者: xiaongxp 时间: 2014-3-10 11:48

p值给定q任意的庞盘[p,q]可以用带“◈”号的工具轻松搞定，但p、q都任意的如何作呢？困惑中寻求高人指点迷津。

作者: 柳烟 时间: 2014-5-17 09:28

用常老师的三点圆（直线）作单位圆内两点z1与z2的圆与单位圆正交没问题，但如何使该圆与单位圆两交点间的一段弧，去除单位圆外的优弧，我没办法。大家想想办法。
接着学习双曲几何。我这人必须亲自动手，才能弄懂，光看书，我一头雾水。幸好老外发明了这GSP，可帮助理解双曲几何中的东西。大家发现我的理解有误，还望指出，利我进步。

图片附件: 未命名.JPG (2014-5-17 10:53, 67.74 KB) / 下载次数 2955
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作者: xiaongxp 时间: 2014-5-17 09:39

作z1的反演点后,选中三点,用菜单命令”圆上的弧"直接作

作者: 柳烟 时间: 2014-5-17 09:55

昨天晚上学到非欧圆周，卡住了。书上的文字不难懂，如何用画板作出非欧圆周，作法机理为何？一头雾水，只好慢慢研究消化了。
纵观史上的数学天才，怪才，真是鬼使神差。这帮人绝对不是今世才读的书，可能是若干世都对数学痴迷，才想得出这些怪招。难怪苏东坡感叹到：书到今生读已迟。双曲几何中或复变函数中，引进的复比（交比）这一概念，非常有趣，闪耀着智慧的光芒，这个概念成了双曲几何中的基石。

作者: 柳烟 时间: 2014-5-17 10:02

23# xiaongxp
向老师的工具中，好象非欧直线（圆弧线）与非欧直线（直径）区分开来，我的意思是如何将这二者统一起来，整成一个。

作者: xiaongxp 时间: 2014-5-17 12:17

25# 柳烟
柳老师是指“非欧线段【两端点】”、“非欧直线【两点】”、“非欧直线【中心】”中那两个？前两个工具各有其用途，我觉得不必统一。学习双曲几何我可能太功利了，与庞盘无关的知识我一点兴趣也没有，所以“非欧直线【中心】”这工具就想把它删掉不要了。
另外两工具“球面镜反射变换”和“球面镜反射逆变换”是欧式平面与双曲平面间的正逆变换工具，柳老师看看它们是否对你的双曲几何的学习有帮助。

作者: 柳烟 时间: 2014-5-17 12:58

当代中国人自私，金钱至上的价值观，爱情观防碍建设创新型国家。你就是一肚子的知识，然穷，没有姑娘会对你投来深情的一眼，悲乎。最近想找几本双曲几何的书来看，网上大搜特搜，电子书，出点血钱买本双曲几何的书，结果除了李忠周建莹的那本，找不到了，看来大家都下海了。听说外国姑娘一看到钟情的另一半，就死心踏踏地要嫁，不问其它，不知是也不是。是应该将对人民的道德教育纳入议事日程的时候了。

作者: 柳烟 时间: 2014-5-17 19:47

双曲几何重要结论的可视化1（20140517）.gsp (28 KB)

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作者: 柳烟 时间: 2014-5-17 22:15

未命名1.JPG

双曲几何重要结论的可视化2（20140518）.gsp (10.13 KB)

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作者: a2569875 时间: 2014-5-18 15:59

练习制作双曲几何学的旋转变换

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附件: 非歐旋轉變換.gsp (2014-5-18 16:05, 35.82 KB) / 下载次数 3136
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作者: a2569875 时间: 2014-5-19 23:01

双曲几何工具集

图片附件: 非歐工具集.png (2014-5-19 22:58, 40.84 KB) / 下载次数 2109
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附件: [添加正多边形、三点圆、非欧反演工具；修复中点、平移点工具之问题；简化旋转工具] 双曲几何工具.zip (2014-5-20 23:09, 23.64 KB) / 下载次数 3002
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作者: 柳烟 时间: 2014-5-20 13:24

31# a2569875
工具不错，下载收藏之。谢。

作者: a2569875 时间: 2014-5-20 23:07

双曲几何学真是太好玩太有魅力了~~
我迷上它了

将旋转工具简化后就能迭代了
非欧正多边形工具就此诞生!!

此外已将平移工具的BUG修复了
中点工具错误也修复了

另外加上非欧三点圆工具

请各位老师帮忙试试还有没有其他问题

图片附件: 非歐正多邊形001.png (2014-5-20 23:01, 49.44 KB) / 下载次数 2123
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附件: 非歐正多邊形.gsp (2014-5-20 23:07, 16.97 KB) / 下载次数 3133
http://develop.forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=21654&k=3399a5c48b748a966d0a94f70e6c251d&t=1749880731&sid=fzH4Fd

附件: 双曲几何工具.zip (2014-5-20 23:08, 23.64 KB) / 下载次数 2912
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作者: a2569875 时间: 2014-5-26 06:18

发表一下我最近研究任意[p,q]_对称双曲极限圆的研究结果

常见的几何有三种
平面几何 (欧氏，欧几里得)
双曲几何 (罗氏)
球面几何
除了平面几何之外都称为非欧几何

对所有的[p,q]，当(p-2)(q-2)>4时，是双曲几何；
当(p-2)(q-2)=4时，是平面几何
当(p-2)(q-2)<4时，是球面几何

除了双曲几何之外，也针对球面几何做了相应工具，分享给各位老师研究或教学之用

双曲、球面、平面-非歐與歐式幾何工具集成.zip (59.26 KB)
双曲几何工具.gsp、球面几何工具.gsp、平面几何工具.gsp
5/27 添加点对称工具

附件(半任意[p,q]极限圆，请自行更改p,q值):

[7,3]非歐網格.gsp (80.77 KB)
[p,q] p<=7 且 (p-2)(q-2)>4 双曲几何

[5,3]非歐網格.gsp (36.85 KB)
[p,q] p<=5 且 (p-2)(q-2)<4 球面几何

[6,3].gsp (51.95 KB)
[p,q] p<=6 且 (p-2)(q-2)=4 平面几何

[7,3].png

图片附件: [7,3].png (2014-5-26 06:11, 93.24 KB) / 下载次数 2108
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图片附件: [3,5].png (2014-5-26 06:11, 36.91 KB) / 下载次数 2066
http://develop.forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=21702&k=9b71933a4a2a403e8489c3fd8ff56e7e&t=1749880731&sid=fzH4Fd

图片附件: [3,6].png (2014-5-26 06:11, 32.43 KB) / 下载次数 2093
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图片附件: [3,7].png (2014-5-26 06:11, 71.79 KB) / 下载次数 2106
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图片附件: [5,3].png (2014-5-26 06:12, 35.7 KB) / 下载次数 2108
http://develop.forums.netpad.net.cn/attachment.php?aid=21705&k=31718ca6625ee8f9be13b7f4ed221140&t=1749880731&sid=fzH4Fd

图片附件: [6,3].png (2014-5-26 06:12, 37.21 KB) / 下载次数 2051
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图片附件: [6,4].png (2014-5-26 06:12, 91.35 KB) / 下载次数 2119
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附件: [双曲几何工具.gsp、球面几何工具.gsp、平面几何工具.gsp 5/27 添加点对称工具] 双曲、球面、平面-非歐與歐式幾何工具集成.zip (2014-5-27 17:46, 59.26 KB) / 下载次数 3916
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附件: [5,3]非歐網格.gsp (2014-5-26 06:22, 36.85 KB) / 下载次数 3783
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附件: [6,3].gsp (2014-5-26 06:23, 51.95 KB) / 下载次数 3754
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附件: [7,3]非歐網格.gsp (2014-5-26 06:27, 80.77 KB) / 下载次数 3628
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作者: zhchgao 时间: 2014-5-26 09:00

楼上很好的工具。

作者: 柳烟 时间: 2014-5-26 14:23

34# a2569875
漂亮！容我慢慢消化。谢谢。

作者: a2569875 时间: 2014-5-26 19:46

11# xiaongxp

增加一个关于弧的点-点反演工具，作双曲极限圆变得容易起来了
xiaongxp 发表于 2014-3-2 16:10

另外補充一點

点-点反演工具所說的反演實際上是以其在歐幾里得幾何的稱呼
事實上他是双曲几何学中的
“反射”(鏡射)

因此xiaongxp老師的◈点-点反演工具和我的非欧镜射点工具是一样的
在此做个提醒
以避免用错工具无法构造极限圆

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作者: a2569875 时间: 2014-5-27 17:55

new tool.png

已做成并添加非欧点对称（也有相对应的球面几何工具）

34楼工具已更新

并且里用它来制作“截角”正七边形极限圆 r[7,3]

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作者: xiaongxp 时间: 2014-5-27 19:16

34# a2569875
精彩！睿智的思考啊！

作者: a2569875 时间: 2014-5-27 23:30

试做“双曲足球”（Hyperbolic soccerball）极限圆，由正七边形与正六边形构成
它可以視為2t[7,3] —— p=7 , q=3 , 经“过截角”变换
或t[3,7] —— p=3 , q=7 , 截去所有顶点

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作者: 柳烟 时间: 2014-5-28 00:24

有没有双曲几何的数学电子书？

作者: a2569875 时间: 2014-5-28 23:03

将函数应射至双曲平面
sin正弦

tan 正切

sec=1/cos

log

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作者: a2569875 时间: 2014-5-28 23:52

41# 柳烟

有没有双曲几何的数学电子书？
柳烟发表于 2014-5-28 00:24

不一定要书阿
利用我做的工具自行摸索
我也是自行摸索而来的

但是如果有书的话
我还满想看的

作者: xiaongxp 时间: 2014-5-28 23:57

未命名1.gsp (6.85 KB)

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作者: 柳烟 时间: 2014-5-29 17:19

没有书，我整不醒火。自行摸索，路漫漫，何必呢

作者: 柳烟 时间: 2014-5-29 17:30

我提一个问题：如何将两个外离的非同心的两个圆莫比乌斯变换成两个同心圆？

作者: 柳烟 时间: 2015-6-23 12:31

34# a2569875

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作者: 柳烟 时间: 2015-6-23 21:48

34# a2569875
我下载你的画板文件，玩了几把，发现当图片中间两点重合时，没有图象了，所以你的文件还需修正。

作者: myzam 时间: 2015-7-5 16:06

1# 柳烟
随便说说：非欧几何我在大学里面学的是利用射影几何去研究，而且还用到了复射影几何。所以要做非欧几何的工具，首先点得做射影几何的工具。而射影几何的工具必须先解决交比工具，调和点的制作工具，最后才是射影坐标系的建立工具。我就简单的说这些吧，希望对你有帮助》
其次：欧式几何的基本不变量是长度，角度，仿射几何（比如相似）的基本不变量是单比（等价于解析几何的定比，等价于几何画板里面的三点的比），射影几何的基本不变量是交比。要在几何画板里面制作非欧几何工具，应该采用的观点是在欧式几何中看待射影几何这样的观点才可以完成工具的制作。也就是说研究几何的观点有两个
一、先射影几何--仿射几何---欧式几何
二、欧氏几何---放射几何----最后是射影几何（GSP中应该用这个观点，否则不能成功做出工具，准确的讲这样才可以系统的作出工具来）
最后，利用射影几何去研究非欧几何（双曲几何、椭圆几何），非欧几何里面还有测度工具，利用测度工具可以得到三角形的内角和>180,<180度，还有矩形的内角和不是360度，等等。非欧几何中的测度工具很重要的。有了测度工具非欧几何的垂直就好画了，表达线就可以用普通的直线表达了，而不必用弯弯的圆去代表线，那样很别扭的。几何到了高级阶段，我们会发现，学习几何和学习代数差不多了，此时几何代数融合在一起了。
要制作一套完整的射影几何工具工作量满大的，仅供参考。

作者: 柳烟 时间: 2015-7-5 22:39

49# myzam
已拜读，老友的建议有道理。不过，在网上要找本射影几何与双曲几何的好教材，真是不易。双曲几何幸好网上有本李忠与周什么女士合写的，看了觉得还不错。问好老友。

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